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二叉搜索树

定义

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上的所有节点的值均小于它的根节点的值；

• 若任意节点的右子树不空，则右子树上的所有节点的值均大于它的根节点的值；

• 任意节点的左子树，右子树也分别为二叉查找树

• 节点的值不能相同

1. 如果节点的值存的是key,则key是不允许重复的
2. 如果节点的值存的是key-value键值对，则key是不允许重复的，value是允许重复的。

• 二叉搜索树的中序遍历是有许的

常见API实现(节点存的是key为例)

insert()

二叉搜索树的插入本质来说是插入到叶子节点上

1. 如果是空树，让树的根节点指向要插入的新节点
2. 查找合适的位置，插入元素(模拟查找过程)，一个引用current标记查找节点，一个引用parentCurrent标记查找节点的父节点
3. 用待插入的值和根节点进行比较
4. 待插入的值和根节点相等，就插入失败(因为二叉搜索树不允许节点的值重复)
5. 待插入的值比根节点的值小，就去根节点左子树找
6. 待插入的值比根节点的值大，就去根节点右子树找
7. 依次再比较待查找元素和左子树/右子树根节点的值，再去递归找左子树和右子树
8. 循环结束current就指向null,当前元素要插入到parentCurrent的子树位置
9. 在比较是插入到左子树还是右子树
10. 待插入值小于parentCurrent的值，就插入到左子树
11. 待插入值大于parentCurrent的值，就插入到右子树

**时间复杂度:**O(n)当整棵树退化为链表

search()

根据二叉搜索树的特性查找，避免了遍历整个树

1. 用待查找的值和根节点值进行比较
2. 待查找的值和根节点的值相等，说明找到返回true
3. 待查找的值小于根节点的值，则去根的左子树去查找
4. 待查找的值大于根节点的值，则去根节点的右子树去查找
5. 依次再比较待查找元素和左子树/右子树根节点的值，再去递归找左子树和右子树
6. 遍历到叶子节点，如果没有找到就返回false

**时间复杂度：**O(n) 当整棵树退化为链表

remove()

1. 先查找待删除的值是否存在，存在再删除，不存在就删除失败
2. 查找过程
3. 用待删除的值和根节点进行比较
4. 待删除的值和根节点的值比较
5. 待删除的值和根节点的值相等，然后进行删除操作
6. 待删除的值小于根节点的值，则去根节点的左子树查找
7. 待删除的值大于根节点的值，则去根节点的右子树查找
8. 依次在比较待删除值和左子树/右子树根节点的值，迭代下去
9. 待删除的值存在，进行删除操作
10. 分情况：
11. 删除的是叶子节点
    1. 只有一个节点的树，直接让让根节点指向null
    2. 删的是父节点的左孩子
    3. 删的父节点的右孩子
12. 删除的只有左或右子树的节点
    1. 删的是只有左子树的节点
       1. 删除的跟节点
       2. 删除的是父节点的左孩子
       3. 删除的父节点的右孩子
    2. 删的是只有右子树的节点
       1. 删除的根节点
       2. 删除的是父节点的左孩子
       3. 删除的是父节点的右孩子
13. 删除的是有左和右子树的节点(替换法删除)
    • 方法1-替换最大值
      1. 找待删除节点左子树的最大值(替罪羊)-左子树的最右端
      2. 替换-待删除节点值替换为左子树的最大值(替罪羊)
      3. 删除左子树的最大值(替罪羊)-类似删除只有左子树的节点情况
    • 方法2-替换最小值
      1. 找待删除节点右子树的最小值(替罪羊)-右子树的最左端
      2. 替换-待删除节点值替换为右子树的最小值(替罪羊)
      3. 删除右子树的最小值(替罪羊)-类似删除只有右子树的情况

**时间复杂度：**O(n) 当整棵树退化为链表

实现

TreeNode类

public class TreeNode {
       Integer key;    TreeNode left;    TreeNode right;    public TreeNode(Integer key){
           this.key=key;    }}

BinarySearchTree类

public class BinarySearchTree {
       TreeNode root;    public BinarySearchTree(){
           this.root=null;    }    //中序遍历作为打印验证    public void inOrder(TreeNode root){
           if (root==null){
               return;        }        inOrder(root.left);        System.out.print(root.key+" ");        inOrder(root.right);    }    public void insert(Integer key){
           if(this.root==null){
               this.root=new TreeNode(key);            return;        }        //标识current的父节点        TreeNode parentCurrent=null;        //current寻找插入位置        TreeNode current=this.root;        int cmp=0;        while (current!=null){
               cmp=key.compareTo(current.key);            if (cmp==0){
                   throw new RuntimeException("二叉搜索树不允许相同的key值");            }else if (cmp<0){
   //往左插                parentCurrent=current;                current=current.left;            }else{
                   parentCurrent=current;                current=current.right;            }        }        TreeNode node=new TreeNode(key);        if (cmp<0){
               parentCurrent.left=node;        }else{
               parentCurrent.right=node;        }    }    public boolean search(Integer key){
           if (this.root==null){
               return false;        }        TreeNode current=this.root;        while (current!=null){
               int cmp=key.compareTo(current.key);            if (cmp==0){
                   return true;            }else if(cmp<0){
                   current=current.left;            }else{
                   current=current.right;            }        }        return false;    }    /*    * 1.删除的是叶子节点    * 2.删除的是有一个孩子的节点    * 3.删除的是有两个孩子的节点（替换删除）    *   选择作左子树中最大的或者右子树中最小的    *    * */    public boolean remove(Integer key) {
           if(this.root==null){
               return false;        }        //查找        TreeNode parent=null;        TreeNode current=this.root;        while (current!=null){
               int cmp=key.compareTo(current.key);            if (cmp==0){
                   //删除                removeInternal(current,parent);                return true;            }else if(cmp<0){
                   parent=current;                current=current.left;            }else{
                   parent=current;                current=current.right;            }        }        return false;    }    private void removeInternal(TreeNode node, TreeNode parent) {
           //删除的是叶子节点        if(node.left==null&&node.right==null){
               if(this.root==node){
   //说明只有一个节点的树                this.root=null;            }else if (parent.left==node){
    //删左孩子则去除                parent.left=null;            }else{
   //删有孩子则去除                parent.right=null;            }        }else if(node.left!=null&&node.right==null){
   //删除只有左子树的节点            if(this.root==node){
                   this.root=node.left;            }else if (node==parent.left){
                   parent.left=node.left;            }else{
                   parent.right=node.left;            }        }else if(node.left==null&&node.right!=null){
   //删除只有右子树的节点            if(root==node){
                   root=node.right;            }else if(node==parent.left){
                   parent.left=node.right;            }else{
                   parent.right=node.right;            }        }else if(node.left!=null&&node.right!=null){
               //方法1-替换最大值            //找待删除节点左子树中的最大值(替罪羊)-左子树的最右端            /*            * 为什么找左子树的最大值?            * 左子树的最大值和待删除节点一替换，仍然满足二叉搜索树的性质            * 左孩子小于根节点，右孩子大于根节点            * */            //从左孩子开始一直向右走到尽头            TreeNode maxParent=node;            TreeNode max=node.left;            while (max.right!=null){
                   maxParent=max;                max=max.right;            }            //替换-把替罪羊的值赋给待删除的节点            node.key=max.key;            //删除替罪羊节点max(替罪羊节点一定没有右子树)            //类似删除的只有左孩子的情况            if (maxParent.left==max){
                   maxParent.left=max.left;            }else{
                   maxParent.right=max.left;            }            //方法2-替换最小值(和替换最大值同理)            //找右子树的最小值(替罪羊)-右子树的最左端//            TreeNode minParent=node;//            TreeNode min=node.right;////            while (min.left!=null){
   //                minParent=min;//                min=min.left;//            }////            //替换//            node.key=min.key;//            //删除替罪羊(替罪羊节点没有左子树)//            //类似于删除只右子树的节点//////            if (minParent.right==min){
   //                minParent.right=min.right;//            }else {
   //                minParent.left=min.right;//            }                    }    }}

测试类Test

public class Test {
       public static void main(String[] args) {
           BinarySearchTree bst=new BinarySearchTree();        bst.insert(1);        bst.insert(3);        bst.insert(5);        bst.insert(7);        bst.insert(9);        bst.insert(10);        bst.insert(2);        bst.insert(4);        //中序遍历        bst.inOrder(bst.root);        System.out.println();       System.out.println(bst.search(7));       System.out.println(bst.search(6));        System.out.println(bst.remove(1));        bst.inOrder(bst.root);        System.out.println();        System.out.println(bst.remove(9));        bst.inOrder(bst.root);        System.out.println();    }}

结果

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